Già Volpino, ha assunto la denominazione attuale nel 1884. Il toponimo deriva dai termini latini COSTA, che indica 'le falde più o meno ripide dei monti', e VULPES, 'volpe'. La sua posizione strategica, all'imbocco della Val Canonica , giustifica la presenza di costruzioni ciclopiche, databili a epoca preistorica, poste a controllo dell'accesso alla valle. La tradizione la identifica con il luogo in cui si svolse la decisiva battaglia tra camuni  e romani; ad avvalorare questa tesi vi sono numerosi scheletri contenuti in sarcofagi di pietra e inumati insieme all'armatura, rinvenuti nella zona. Nel corso del Medioevo fu teatro di lunghe contese tra bergamaschi e bresciani, iniziate quando i Brusati, proprietari del locale castello, costruito nel XII secolo, cedettero la fortezza ai bergamaschi. Dopo una serie di scontri la vittoria finale toccò ai bresciani e agli alleati milanesi. I secoli successivi furono segnati dalle contese tra guelfi e ghibellini e da pestilenze. A partire dal Quattrocento e fino alla fine del Settecento fece parte della Repubblica Veneta, subendo successivamente le dominazioni francese e austriaca. Annessa poi al Regno d'Italia, durante il secondo conflitto mondiale fu teatro di sanguinosi scontri tra i nazifascisti e i gruppi partigiani. Delle preistoriche costruzioni ciclopiche resta traccia nel castelliere Racinel, databile all'età del ferro; nessuna traccia si conserva, invece, del castello medievale, nelle cui vicinanze sorgeva la prima parrocchiale, sostituita con un secondo edificio verso la metà del XVIII secolo.